制作人：李锐（大阪大学）

出品单位：中国科学院计算机网络信息中心

3 月15 日是什么日子？

这一天是国际消费者权利日。不仅如此，这一天还诞生了许多名人，如清朝顺治皇帝、德国免疫学创始人埃米尔·阿道夫·冯·贝林、法国天文学家尼古拉斯·路易·拉卡耶等。中国第六代导演领军人物之一娄烨等。

和这么多明星同一天生日，是不是很特殊的缘分呢？是不是在暗示什么？网上也有人说，要珍惜和你同一天生日的人。同一天出生不是有特别的意义吗？

事实上，两个人同一天出生的概率可能比你想象的要大得多。

一个班级中，出现相同生日的概率有多大？

假设某小学一个班有40 名学生。他们生日相同（同月同日）的概率是多少？

这实际上是一个排列组合的问题。首先，假设同一天出生的情况确实存在，那么除了——两个人同一天出生的最简单的一种之外，还有很多种可能的组合。

在某些情况下，不同日期的生日是相同的。例如，有两个人出生在3月15日，有两个人出生在4月13日。可能有两个以上的人同一天出生，例如3 月15 日出生的三个人。

如果这样想的话，可能会出现诸如一日出生三个人、另一天出生四个人等复杂的情况。

如果你想枚举出每一种可能的组合，然后将概率相加，这实际上是一个几乎不可能完成的任务。

不过，如果从反面想一想，这个问题就变得简单多了。

同一个班级有重复生日和不重复生日的概率相加为1。我们只要计算出没有重复生日的概率，然后用1减去这个概率，就可以得到我们的结论想。

这样，我们就可以把问题简化为一个40人的小学班级中没有两个（或更多）人在同一天出生的概率。

为了方便起见，我们假设我们先把教室外面的所有人都邀请出去，然后再把学生一一叫回来。在这个过程中，我们计算了新同学和以前同学的生日不同的概率。

假设第一个进入教室的学生的生日是3月15日，我们邀请第二个学生进入。为了满足问题的要求，第二个学生的生日可以是365天内除3月15日之外的任何一天。生日与第一个同学不同的概率是364/365。

（这里我们做了两个假设，第一个是不考虑闰年，第二个是一年中每天的出生率应该相等。）

邀请第三位学生进入。他的生日不可能与前两个学生相同，所以现在概率变为（364/365）（363/365）。第一个括号表示前两个学生的生日不同。第二个括号是第三个人的生日与前两个人不同的概率。相乘的结果就是三个人生日不同的概率。四个人生日不同的概率为（364/365）（363/365）（362/365）……

以此类推，一直计算到第40个人，然后用1减去计算出的概率。这就是我们想知道的问题的答案，即这40个人中生日事件重复发生的概率。

最终得到的结果是89.1%。是不是比想象的要大？

如果人数继续增加，这个概率还会急剧上升。对于50人的班级来说，概率是97.0%，对于60人的班级来说，达到99.4%，对于70人的班级来说，已经是99.9%了。

换句话说，70人的班级中没有人生日相同的概率不到千分之一。

提示：在实际过程中，我们不需要傻傻地计算三十次、四十次。计算机软件（一个简单的电子表格就足够了）可以帮助我们完成这种重复而繁琐的任务。

有一个非常经典的数学“悖论”，叫做“生日问题”：一个房间里需要有多少人，使得其中两个人生日相同的概率大于50%？

根据上面的计算方法，我们很容易得到答案，23人。

我相信这个数字比大多数人直观估计的要少。

虽然被称为“悖论”，但从引发逻辑矛盾的角度来看，生日问题并不是悖论。之所以被称为悖论，是因为这个数学事实与一般直觉相冲突。

毕竟大多数人都会认为23人中有2人生日相同的概率应该远低于50%。

遇到和自己同一天生日的人概率有多大？

说到这里，你可能会有疑问：既然上面算出的概率都出乎意料的高，为什么你从小到大在班上就没遇到过和自己同一天出生的人呢？

事实上，如果你足够聪明，你应该意识到这是另一个命题。 —— 在一个40人的班级中，有人与你生日相同的概率是多少？

我们仍然采用一一邀请学生走进课堂回答问题的思维方式。首先计算40人班中没有人与自己生日相同的概率，然后用1减去这个值，得到我们需要的结果。

第一个“我”走进教室。第二个进入教室的学生与“我”生日不同的概率是364/365。第二个和第三个同学与“我”生日不同的概率是(364/365)(364/365)，进入第四个同学时答案是(364/365)(364/365)(364 /365).

以此类推，当进入第n个同学时，概率为(364/365)的n-1次方。

最后我们用1减去上面的结果，就是n个人的班级中，有人和我们生日相同的概率。

计算结果如下：一个班4人（0.8%）、一个班23人（5.8%）、一个班40人（10.1%）……

结果似乎比上一个问题更符合我们的共识。

因此，在一个40人的班级中，有一个同学与你生日相同的概率是10.1%。

我们每个人从小就上过很多班级。从上面的计算结果来看，如果从小到大，任何一个班级都没有一个生日相同的人，那才是真正的奇迹！

我们按照小学每班60人、初中每班70人、高中每班50人、大学每班30人来计算。结果不到千万分之五。从概率上来说，已经接近彩票大奖了。等级。

因此，一群人生日相同的概率比很多人预想的要大得多，更不用说全世界数十亿人了。

当然，由于每天的出生率实际上并没有显着差异，因此在全球70亿人口中，某个日期对应的数字（注意该日期不是具体的年份加日期，比如3月15日， （不是1985 年3 月15 日）总人口约为2000 万。

如果考虑历史上死去的人，某一天出生的人数一定是天文数字。在任何一天，都有无数名人出生或去世。

就这样，虽然我们希望每一天都是美好的、特别的、神奇的一天，但事实上，每一天都是普通的、平凡的。